อ.เจนณรงค์ อร่ามรัตนชัย

ตรรกศาสตร์ 

1.  พิจาณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ เมื่อ p , q , r และ s เป็นประพจน์
ก.                                                ข.
เหตุ                                             เหตุ
1. p V (p Λ ~q)                          1. ~p → r
2. p → q                                    2. ~r V s
a 3. ~s
ผล                                              ผล
q                                                p

1.ก.สมเหตุสมผล  ข.สมเหตุสมผล                2. ก.สมเหตุสมผล  ข. ไม่สมเหตุสมผล
3. ก.ไม่สมเหตุสมผล  ข.สมเหตุสมผล            4. ก.ไม่สมเหตุสมผล  ข.ไม่สมเหตุสมผล

จงแสดงว่าประพจน์เหล่านี้สมมูลกัน 2-3

   2.   p∨q→r สมมูลกับ (p→q) ∧(q→r)

 วิธีทำ

p∨q→r สมมูลกับ ~ ( pvq)vr

                              (~p ∧~ q) ∨  r

                                                (~p∨r) ∧(~q∨r)

                               (p→r) ∧(q→r)         

  3.  ~p∨(q∧ ~q) กับ ~p

  วิธีทำ 

4.ประพจน์ [p∧  (r / ~r)] V [r ∧ (q V ~q)] มีค่าความจริงตรงกับประพจน์ในข้อใด

1. r
2. p
3. q
4. p V q

 

5.จงแสดงว่ารูปแบบประพจน์ [~(~p→(q⋀r))⋀(~r→q)]→(p⋁r)  สมมูลกับ q→(~p→r)

   วิธีทำ

[~(~p→(q⋀r))⋀(~r→q)]→(p⋁r) 
≡p⋁(q⋀r)⋁(~r⋀~q)⋁p⋁r 
≡(q⋀r)⋁(~r⋀~q)⋁p⋁r 
≡(q⋀r)⋁[(~r⋁r)⋀(~q⋁r)]⋁p 
≡(q⋀r)⋁[T⋀(~q⋁r)]⋁p 
≡(q⋀r)⋁(~q⋁r)⋁p 
≡[(q⋁~q⋁r)⋀(r⋁~q⋁r)]⋁p 
≡[(T⋁r)⋀(~q⋁r)]⋁p 
≡T⋀(~q⋁r)]⋁p 
≡(~q⋁r)⋁p 
≡~q⋁(p⋁r) 
≡q→(~p→r) 

6.    ข้อความข้างล่างนี้  ข้อใดไม่ใช่  นิเสธของข้อความ  

 1.                    2. 

 3.                     4.                      

7. กำหนดเอกภพสัมพัทธ์  คือ  ช่วงเปิด  ( - 2 , 3 )  พิจารณาข้อความต่อไปนี้
                        ก.   ประพจน์      มีค่าความจริงเป็นจริง
                        ข.   ประพจน์       มีค่าความจริงเป็นจริง
                     ข้อใดต่อไปนี้ถูก
                           1.   ก  ถูก  และ  ข  ถูก           2.   ก  ถูก  และ  ข  ผิด           3.   ก  ผิด  และ  ข  ถูก             4.   ก  ผิด  และ  ข  ผิด

8.ให้  p , q , r , s  เป็นประพจน์  ถ้า    มีค่าความจริงเป็นจริง  และ    มีค่าความจริงเป็นเท็จ
                แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูก
                        1.       มีค่าความจริง  เป็นจริง                                2.        มีค่าความจริง  เป็นจริง
                        3.       มีค่าความจริง  เป็นเท็จ                                4.        มีค่าความจริง  เป็นเท็จ

9.พิจารณาข้อความต่อไปนี้
                 ก.   ถ้าเอกภพสัมพัทธ์  คือ  เซตของจำนวนเต็ม  แล้วข้อความ    มีค่าความจริงเป็นจริง
                ข.   นิเสธของข้อความ     คือ   
             ข้อใดต่อไปนี้ถูก
                  1.   ก  ถูก  และ  ข  ถูก           2.   ก  ถูก  และ  ข  ผิด           3.   ก  ผิด  และ  ข  ถูก             4.   ก  ผิด  และ  ข  ผิด

 

10. ให้   p , q , r , s   เป็นประพจน์
                ถ้า      มีค่าความจริงเป็นจริง   และ     มีค่าความจริงเป็นเท็จ  แล้ว
               ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้  มีค่าความจริงเป็นเท็จ
                    1.   p→q                        2.  q→r                     3.  r→s                          4.  s→p      

ทฤษฎีจำนวน

1. ให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า 5 หาร m เหลือเศษ4 และ 5 หาร n เหลือเศษ 2 แล้ว 5 หาร (m+n) เหลือเศษเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1.  1              2. 2                 3. 3           4. 4

1.    1            2.   2                 3.  3        4.  4

3.ให้ x และ Y เป็นจำนวนเต็มบอก ซึ่ง 80 < x < 200   และ x = pq เมื่อ p และ q เป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่ง p ไม่ เท่ากับ q ถ้า x และ y เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ และ ค.ร.น. ของ x,y เท่ากับ 15015 แล้ว ผลบวกของค่า y ทั้งหมดที่สอดคล้องเงื่อนไขทั้งหมดที่กำหนดให้เท่ากับเท่าใด

1.  235                2.270         3. 305           4. 340 

4.  ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่งมีสมบัติดังนี้ (Ent มีนา 48)

      100 <=  n <= 1000          <= น้อยกว่าเท่ากับ

   45 และ75 หาร n ลงตัว

   7 หาร n เหลือเศษ 3

   แล้ว n มีค่าเท่าไหร่

1.  300      2.  830     3.     675       4. 800

5. ถ้า a,b    เซตของจำนวนเต็มบวก   และ  (a,b) = 8 และ[a,b] = 1440 จงหา a,b

 วิธีทำ

 6. จงหาจำนวนเต็ม x และ y ที่สอดคล้องกับสมการ (144 , 308 ) = 144x + 308y

  1. x = 15  y = -7                  2.  x = -15 y= 7

 3. x = 20  y = 15                 2.  x = -20 y=15  

 7. จำนวนนับที่น้อยที่สุดที่ทำให้ n2+n+17 มีตัวประกอบมากกว่า 4 ตัวคือค่าใด 

 1. 17         2. 19       3. 23      4. 16 

 8. ถ้า x เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด ซึ่ง 9,12 และ 15 หาร x ลงตัว แต่ 11 หาร x

เหลือเศษ 7  แล้ว x มีค่าเท่าใด (Anet)

1.    360          2. 540          3. 720          4.1360

 9. ในการนำขั้นตอนวิธีการหารไปใช้ในการเขียนจำนวน 118 ในรูปตัวเลขฐาน 4 จะได้

   118 = (4xa) + b

       a = (4xc) + d

       c = (4xe) + f

       e = (4x0) + e

จงหาค่าของ bdef

1.  8          2.  10         3.   6       4.   12

10. ถ้า x เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด ซึ่ง 9,12 และ 15 หาร x ลงตัว

      แต่ 11 หาร x เหลือเศษ 7 แล้ว x มีค่าเท่าใด

1.    180       2.   360        3. 1360    4. 1720 

เรขาคณิตวิเคราะห์ 

 1. กำหนดให้ A (a,3)  B(7,3) และ C(-4,2) เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมที่มีมุม A เป็น มุมฉาก

     ถ้า a> tan 60' แล้วสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด A และ C คือข้อใดต่อไปนี้

      1. x-y+2 = 0            2. 5x - 6y +8 =0

      3. 5x-4y +12 =0      4. 7x-5y +18 =0

2. ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวก ที่ทำให้เส้นตรง

     ax +12y +15  =0 สัมผัสวงกลม

     x2+y2-14x+4y+49  =0 แล้วค่าของ a จะอยู่ในช่วงใดต่อไปนี้

       1. (0,4]        2. (4,8]            3. (8,12]         4 . (12,16]

3. สมการของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่บนแกน x มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด และผ่านจุด focus ทั้งสองของวงรี 4x2+3y2-16c+4 =0 คือสมการในข้อใดต่อไปนี้

     1.y2 = x         2. y2 = 4x      3. 2y2 = x       4. 8y2 = x

4.  เซตของจุดซึ่งมีผลคูณของระยะตั้งฉากจากจุดนั้นถึงเส้นตรง 3x-4y+1 = 0 และเส้นตรง 3x+4y-7 =0 มีค่า 144/25 เสมอ คือภาคตัดกรวยในข้อใดต่อไปนี้

     1.   วงกลม         2. พาราโบลา       3. วงรี    4. ไฮเปอร์โบลา

5. ให้ S เป็นเซตของจำนวนจริง m ทั้งหมดที่ทำให้เส้นตรง y =mx ตัดกับวงกลม x2+y2-10x+16 = 0 ขอบเขตบนค่าน้อยสุดของ S คือจำนวนใดต่อไปนี้

    1. 1/2     2. 2/3    3. 3/4     4. 4/5 

6. จุดยอดของสมการไฮเปอร์โบลา 4x2-8x-9y2 = 32 คือข้อใดต่อไปนี้

     1. (0,-2) และ (0.2)   2. (0,-2)และ (0,4)  3. (-2,0)และ (4,0)  4. (-3,0) และ (3,0)

7. ถ้าลากเส้นตรงจากจุด A(-3,-4) ไปยังจุด B(3,4) ขอใดต่อไปนี้ถูก

   1. 3x-3y-1=0      2. 3x-3y+1 = 0  3. 3x-3y-2=0    4. 3x-3y+2=0 

8.จงหาสมการเส้นตรงที่แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุด A(-3,2) และ B (5,6)

  1. 2x+y-6 = 0     2. 2x-y+6 = 0     3. y-6=2x    4.   x-2y+10

 9. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (2,1) และผ่านจุดตัดของเส้นตรงที่มีสมการ 3x-4y-2 = 0 และ 2x-y = 0

  1. x+y+3=0     2. x+y-3 = 0     3. 2x+y+3=0    4. 2x-y+3=0

10. จุด 3 จุดในข้อในข้อใดต่อไปนี้ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

   1. (-1,1)  (-11,8)  (6,-4)         2. (0,0)  (2,-3)   (-8,12)

   3. (-1/2,3)  (-1,2)  (2,8)         4. (3,2) (6,1) (-3,4)