นิยามของฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน

คือ ความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใดๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่ต่างกัน นั่นคือ

ถ้า (x₁,y₁) ∈ r และ (x₁,y₂) ∈ r แล้ว y₁= y₂

หลักในการพิจารณาว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่

1.       ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปแจกแจงสมาชิก ให้ดูว่าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกันหรือไม่ ถ้าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกัน แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน

2.       ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปของการกำหนดเงื่อนไขสมาชิก
          r = {(x,y) ∈ A× B | P(x,y) } ให้แทนค่าแต่ละสมาชิกของ x ลงในเงื่อนไข P(x,y)

3.       พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์ โดยการลากเส้นตรงขนานกับแกน y ถ้าเส้นตรงดังกล่าวตัดกราฟของความสัมพันธ์มากกว่า 1 จุด แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน

ฟังก์ชันจาก A ไป B

f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือเซต A และเรนจ์เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย

f: A → B

ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B

f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต A และเรนจ์เป็นของเซต B เขียนแทนด้วย

f : AB

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B

 f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ซึ่งถ้า y ∈ R _f แล้วมี x ∈ D_f เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ (x,y) ∈ f เขียนแทนด้วย f :B

หรืออาจกล่าวอย่างง่ายๆได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ก็ต่อเมื่อสำหรับ x₁และ x₂ ในโดเมน ถ้า
f( x₁) = f( x₂) แล้ว x₁ = x₂

ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด

ให้ f เป็นฟังก์ชันจากสับเซตของ R× R และ A ⊂ D_f

-          f เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x₁ และ x₂ ใดๆ ใน A

ถ้า x₁ < x₂ แล้ว f( x₁) < f( x₂)

-          f เป็นฟังก์ชันลดใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x₁ และ x₂ ใดๆ ใน A

ถ้า x₁ < x₂ แล้ว f( x₁) > f( x₂)

กำหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันในเซตของจำนวนจริง

f + g = { (x, y) | y = f(x) + g(x) และ x ∈ D _f ∩ D_g }

f – g = { (x, y) | y = f(x) - g(x) และ x ∈ D f ∩ Dg }

f · g = { (x, y) | y = f(x) · g(x) และ x ∈ D f ∩ Dg }

f      = { (x, y) | y =    f(x)    และ x ∈ D _f ∩ D_g และ g(x) ≠ 0 }

 g                               g(x)

 

                             f - g (x)            = f(x) - g(x) ซึ่ง x ∈ D _f ∩ D_g

                             f · g (x)            = f(x) · g(x) ซึ่ง x ∈ D _f ∩ D_g

                             f (x)                         = f(x)   ซึ่ง x ∈ D _f ∩ D_g และ g(x) ≠ 0

                                                g                                g(x)             

ฟังก์ชันคอมโพสิท

ตัวอย่างที่ 1 ให้ f: A → B และ g : B → C ดังแสดงในแผนภาพ 

f = {(1,5), (2,4), (3,6)} และ

g = {(4,7), (5,7), (6,8)}

(gof)(1)                  = g(f(1))                 = g(5)     = 7

(gof)(2)                  = g(f(2))                 = g(4)     = 7

(gof)(3)                  = g(f(3))                 = g(6)     = 8

∴ gof                     = {(1,7), (2,7), (3,8)}  และ   D_gof = A

ข้อสังเกต              จากตัวอย่างที่ 1 จะเห็นว่าไม่มี fog เพราะ R _f ∩ D_g=Ø