อ.เจนณรงค์ อร่ามรัตนชัย

 

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

 

ประพจน์และการเชื่อมประพจน์

ประพจน์ (Propositions หรือ Statements)
          ระพจน์ คือประโยคที่เป็นจริงหรือเท็จ อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ประโยคที่มีลักษณะดังกล่าวจะอยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้

          ตัวอย่างประโยคที่เป็นประพจน์

ดาวพุธเป็นดาวเคราะห์ จังหวัดเชียงใหม่ไม่อยู่ทางภาคใต้ของประเทศไทย  9 17+8  25  เซตว่างเป็นสับเซตของเซตทุกเซต

(จริง) (จริง) (จริง) (เท็จ) (จริง)

          ตัวอย่างประโยคที่ไม่เป็นประพจน์

ฝนตกหรือเปล่า อย่าเดินลัดสนาม ช่วยด้วย กรุณาเปิดหน้าต่างด้วย ได้โปรดเถิด

(คำถาม) (ห้าม) (ขอร้อง) (ขอร้อง) (อ้อนวอน)

การเชื่อมประพจน์
          กำหนดให้ p, q, r, ... แทนประพจน์ และให้ T แทนค่าความจริง ที่เป็นจริง และ F แทนค่าความจริงที่เป็นเท็จ เมื่อนำประพจน์มาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมจะเรียกประพจน์ใหม่ว่า ประพจน์เชิงประกอบ

          ใช้สัญลักษณ์       
                      แทน ตัวเชื่อม “และ”
                      แทน ตัวเชื่อม “หรือ”
                     แทน ตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...”
                     แทน ตัวเชื่อม “...ก็ต่อเมื่อ...”
                    ~    แทน นิเสธ

การหาค่าความจริงของประพจน์

นิเสธของประพจน์
          กำหนดให้ p แทนประพจน์
          นิเสธของประพจน์ p เขียนแทนด้วย ~p โดย p และ ~p จะมีค่าความจริงตรงกันข้าม

จำนวนกรณีที่พิจารณา = 2ⁿ กรณี

ประพจน์ที่สมมูลกัน

ประพจน์ p และ q จะสมมูลกัน เมื่อประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี ประพจน์ p และ q ที่สมมูลกัน เขียนแทนด้วย p = q ประพจน์ทั้งสองนี้สามารถใช้แทนกันได้ เนื่องจากมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี

 การตรวจสอบว่าประพจน์สองประพจน์ใด ๆ สมมูลกันหรือไม่ ทำได้ 2 วิธี คือ
          1.  โดยใช้ตารางค่าความจริง
          2.  ตรวจสอบจากรูปแบบของประพจน์ที่สมมูล

สัจนิรันดร์

  สัจนิรันดร์ (Tautology) คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
          สัจนิรันดร์ที่สำคัญ เช่น p~p, pp, ~(p~p), pp, (pp)p, p(pq)

          การตรวจสอบว่าประพจน์เป็นสัจนิรันดร์ ทำได้ 3 วิธี คือ

               1.  ใช้ตารางค่าความจริง

2.  ใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง

 3.  ใช้ความรู้เรื่องสมมูล สำหรับประพจน์ที่อยู่ในรูป AB ให้ตรวจสอบว่าประพจน์ A และประพจน์ B สมมูลกันหรือไม่ ทั้งนี้เพราะประพจน์ที่สมมูลกัน จะมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี เมื่อเชื่อมประพจน์ที่สมมูลกันด้วยตัวเชื่อม ประพจน์ที่เกิดใหม่จึงเป็นสัจนิรันดร์

ประโยคเปิด

   ประโยคเปิด (Open sentence) คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปรและ ไม่เป็นพหูพจน์ แต่เมื่อแทนค่าตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วจะเป็นประพจน์

ตัวบ่งปริมาณ

ตัวบ่งปริมาณ (Quantifier) มี 2 ประเภท คือ

1.  ... เป็นสัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณ แทนคำว่า เช่น x มีความหมายว่า “สำหรับทุกค่าของ x” 2.  ... เป็นสัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณ แทนคำว่า  เช่น x มีความหมายว่า “มีค่า x บางตัว” 3.  สำหรับตัวบ่งปริมาณมากกว่า 1 ตัว หมายถึง ตัวบ่งปริมาณที่ใช้ขยายความ

“สำหรับทุกค่าของ...” “สำหรับแต่ละค่าของ...” “สำหรับบางค่าของ...” “มี...บางค่า” ประโยคเปิดที่มีตัวแปรมากกว่า 1 ตัว จึงจะทราบค่าความจริงของประโยคเปิด