อ.เจนณรงค์ อร่ามรัตนชัย

ระบบจำนวนจริง (Real Number)

สมบัติของระบบจำนวนจริง

               ระบบจำนวนจริงประกอบด้วยเซตของจำนวนจริง R กับการบวกและการคูณ ซึ่งมีสมบัติดังนี้

 มีสมบัติ  การบวก การคูณ

1.             ปิด                         a+b เป็นจำนวนจริง               ab เป็นจำนวนจริง

2.             การสลับที่              a+b = b+a               ab = ba

3.             การเปลี่ยนกลุ่ม     (a+b)+c = a+(b+c) (ab)c = a(bc)

4.             การมีเอกลักษณ์     เอกลักษณ์ของการบวก คือ

เพราะ a+0 = a = 0+a             เอกลักษณ์ของการคูณ คือ 1    เพราะ a•1= a = a•1

5. การทีอินเวอร์ส      อินเวอร์สการบวกของ a คือ –a           อินเวอร์สการคูณของ a คือ   เพราะ a+(-a) = 0 =-a+a

เพราะ a a-1 = 1 = a-1

6. การแจกแจง           a(b+c) = ab+ac      (แจกแจงทางซ้าย)

(b+c)a = ba+ca      (แจกแจงทางขวา)

การแก้สมการตัวแปรเดียว

ทฤษฎีบทเศษเหลือ (Remainder Theorem)   ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor Theorem)   ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ (Rational Factor Theorem)

การแก้สมการค่าสัมบูรณ์

จะต้องพยายามปลดรูปเครื่องหมายสัมบูรณ์ออกเสียก่อนแล้วจึงจะทำการแก้สมการนั้นได้ตามปกติ

โดยมีหลักการใหญ่ ๆ 2 วิธีคือ

     1.  โดยใช้นิยามของค่าสัมบูรณ์

     2. โดยใช้สมบัติเกี่ยวกับค่าสัมบูรณ์ ต่อไปนี้

                 2.1  ถ้า | x | = a เมื่อ a   0 จะได้ x = a หรือ x = -a

                 2.2  ถ้า | x | = | a | จะได้ x = a หรือ x =-a

                 2.3  | x |2 = x2

การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์

          จะต้องพยายามปลดรูปเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ออกแล้วจึงแก้อสมการได้ตามปกติ

ซึ่งสามารถปฏิบัติได้ 2 วิธี ดังนี้

          1.  โดยใช้นิยามของค่าสัมบูรณ์ (วิธีนี้ใช้ได้กับอสมการทุกกรณี)

          2.  โดยใช้สมบัติบางประการของค่าสัมบูรณ์ ต่อไปนี้

                   2.1  ถ้า | x | < a เมื่อ a > 0 จะได้ –a < x < a

                  2.2  ถ้า | x | > a เมื่อ a > 0 จะได้  x < -a หรือ x > a

                  2.3  ถ้า | x | < | a | จะได้ x2 < a2

                  2.4  ถ้า | x | > | a | จะได้ x2 > a2

ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น

การหารลงตัว (Divisibetity)

                บทนิยาม           ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ a  0 เรากล่าวว่า

                                           a หาร b ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม c ที่ทำให้ b=ac จะเรียก         a      ว่าเป็น ตัวหาร (divisor)  และเรียก       b      ว่าเป็นพหุคูณ (multiple) ของ b