เซตและสมาชิก
ในทางคณิตศาสตร์เราใช้คำว่า “เซต” แทนคำที่บ่งถึงกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ โดยเราจะเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก สำหรับลักษณะของเซตเป็นการระบุกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ ที่ทำให้เราสามารถทราบได้แน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่มและสิ่งใดไม่อยู่ ในกลุ่ม ดังนั้นการระบุของสิ่งต่าง ๆ ที่กำกวม กล่าวคือ เราไม่สามารถทราบได้แน่ว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม หรือสิ่งใด ไม่อยู่ในกลุ่ม เราจะไม่กล่าวว่ากลุ่มของสิ่งนั้นเป็นเซต
เอกภพสัมพัทธ์
คือ เซตที่กำหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า จะไม่กล่าวถึงสิ่งใดนอกเหนือไปจากสมาชิกของเซตที่กำหนดขึ้นนี้ นิยมใช้สัญลักษณ์ กล่าวอย่างง่าย ๆ คือเป็นตัวกำหนดขอบเขตของสมาชิกที่เราสนใจนั่นเองการระบุสัญลักษณ์แทนเซต เราสามารถเขียนเซตโดยระบุสัญลักษณ์ได้ 2 แบบ คือ
1. แบบแจกแจงสมาชิก
2. แบบบอกเงื่อนไขสมาชิกในเซต
โดยเราจะใช้สัญลักษณ์ “” และ “” แทนคำว่า “เป็นสมาชิกของ” และ “ไม่เป็นสมาชิกของ” ได้
ลักษณะของเซต
เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถบอกได้แน่นอนว่ามีจำนวนสมาชิกเท่าใด
เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด กล่าวคือเราไม่สามารถบอกได้แน่นอนว่ามีจำนวนสมาชิกเท่าใด
เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก ใช้สัญลักษณ์ หรือ { } แทน โดยมีข้อสังเกตว่าเซตว่างเป็นเซตจำกัด เพราะมีจำนวนสมาชิกเป็นศูนย์ ซึ่งสามารถนับได้นั่นเอง
ความสัมพันธ์ระหว่างเซต
1. การเท่ากันของเซต เซต A จะเท่ากับเซต B ก็ต่อเมื่อมีจำนวนสมาชิกเท่ากันและเหมือนกัน เราใช้ สัญลักษณ์ A = B แทนความหมายว่า “เซต A เท่ากับเซต B”
2. สับเซต (Subset) เซต A จะเป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อสมาชิกทุกตัวที่เป็นสมาชิกของ A ต่างก็เป็น สมาชิกของ B เราใช้สัญลักษณ์ A B แทนความหมาย “เป็นสับเซตของ” โดยที่การเป็นสับเซตของเซตสามารถแบ่งได้เป็น 2 ลักษณะ คือ
1) กรณีที่ A B แต่ A B เรียกว่าเป็นสับเซตแท้ของ B
2) กรณีที่ A B แต่ A = B เรียกว่าเป็นสับเซตไม่แท้ของ B
คุณสมบัติที่น่าสนใจของสับเซต
- เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต นั่นคือ A เมื่อ A เป็นเซตใด ๆ
- ทุก ๆ เซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ นั่นคือ A เมื่อ A เป็นเซตใด ๆ
- จำนวนสับเซตทั้งหมดที่เป็นไปได้ของเซต A มีค่าเท่ากับ 2n(A-B) และจำนวนสับเซตแทนมีค่าเท่ากับ 2n(A)- 1
ทฤษฎีบท ให้ A, B เป็นเซตจำกัด
- ถ้า B X และ X A แล้ว จำนวนเซต X เท่ากับ 2n(A-B) เซต
- ถ้า B A และ X A และ B X แล้ว จำนวนเซต X เท่ากับ 2n(A) - 2n(A-B) เซต
สับเซต (Subset) และเพาเวอร์เซต (Power Set) ให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ จะได้ว่า
1. เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อทุกสมาชิกของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย “A B”
2. เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อมีสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัว ของเซต A ที่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “A B”
3. เซต A เป็นสับเซตแท้ (Proper Subset) ของเซต B ก็ต่อเมื่อ A เป็นสับเซตของ B แต่ A B และใช้สัญลักษณ์ “” แทนทั้งสับเซตแท้และสับเซตไม่แท้
4. เพาเวอร์เซต (Power Set) ของเซต A คือ เซตของสับเซตทั้งหมดของเซต A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “P(A)” ดังนั้น P(A) = {xlx A}
สมบัติของสับเซต
1. ถ้า A เป็นเซตใด ๆ แล้ว A A [เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง]
2. ถ้า A เป็นเซตใด ๆ แล้ว A [เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต]
3. ถ้า A B และ B C แล้ว A C
4. ถ้า A เป็นเซตจำกัดใด ๆ ที่มีสมาชิก n ตัว แล้ว สรุปได้ว่า
4.1 จำนวนสับเซตทั้งหมดของเซต A = 2n เซต
4.2 จำนวนสับเซตแท้ทั้งหมดของเซต A = 2n-1 เซต
4.3 จำนวนสับเซตที่มีสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัว = 2n-1 เซต
4.4 จำนวนสับเซตที่มีสมาชิกอย่างน้อย 2 ตัว = 2n-n-1
4.5 จำนวนสับเซตที่มีสมาชิกเพียง 2 ตัว = เซต
4.6 จำนวนสับเซตที่มีสมาชิกเพียง r ตัว = เซต
สมบัติของเพาเวอร์เซต ให้ A เป็นเซตใด ๆ เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A) และมีสมบัติดังนี้
1. P(A) สำหรับทุก ๆ เซต A [P(A) จะต้องมีสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัว เสมอ]
2. P(A) และ P(A) สำหรับทุก ๆ เซต A
3. A P(A) เสมอ
4. nP(A) = 2n, ถ้า A เป็นเซตใด ๆ ที่มีสมาชิก n ตัว จำนวนสมาชิกของ P(A) = 2n เซต
5. ถ้า A B แล้ว P(A) P(B)
6. P(A) P(B) = P(A B)
7. P(A) P(B) P(A B)
8. ถ้า A เป็นเซตอนันต์แล้ว P(A) เป็นเซตอนันต์
ยูเนียนเนียน อินเตอร์เซกชันและคอมพลีเมนต์ของเซต
การดำเนินการบนเซต (Operation on set) ให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ และ เป็นเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งกำหนดดังแผนภาพต่อไปนี้
1. ยูเนียน (Union)
ยูเนียนของเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกซึ่งเป็นสมาชิกของเซต A หรือของเซต B หรือของทั้งสองเซต เขียนแทน
ด้วยสัญลักษณ์ “A U B
2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
อินเตอร์เซกชันของ A และ B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกซึ่งเป็นสมาชิกซึ่งเป็นสมาชิกของทั้งเซต A และเซต B
3. ผลต่าง (Difference)
ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B หรือคอมพลีเมนต์ของ B เมื่อเทียบกับ A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิก ซึ่งเป็นสมาชิกของเซต A
แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “A - B”
4. คอมพลีเมนต์ (Complement)
คอมพลีเมนต์ของเซต A เมื่อเทียบกับ เขียนแทนด้วย A’ หรือ -A หมายถึง เซตที่ประกอบด้วย สมาชิก ซึ่งเป็นสมาชิกของ แต่ไม่เป็น
สมาชิกของ A
